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列关系的时候，它们的相似在于它们的各项可以发生相互关系而不变换次序。但是相似这个概念可以用于一切有领域的关系，也就是，可以用于一切关系，在这种关系中，范围和倒转范围是一种类型。
我们现在说，一个Ｐ关系的关系数就是那些在次序上和Ｐ相类似的关系的类。这正有类于用次序的类似代替类的类似，用关系代替类的基数算术。加法、乘法和指数的定义有点儿类乎基数算术里的定义。
加法和乘法都遵循结合定律。
分配定律在一种形式中是适用的，但是，普通说来，在另一种形式中是不适用的。除了有关的关系的领域是有限的，交互定律是不适用的。举例来说，今有象自然数的系列的一个系列，在这个系列上加上两项。如果你把这两项加在开头的地方，这个新的系列就象是那个旧的系列；可是，如果你把这两项加在末尾，这个新的系列就不同了。无论什么时候，如果ｘ对ｙ有Ｐ关系，或ｘ对ｙ有Ｑ关系，或ｘ属于Ｐ的领域，ｙ属于Ｑ的领域，那么，Ｐ和Ｑ两种关系之和就可以说是能适用于ｘ与ｙ之间的一种关系。
根据这一个定义，一般说来，Ｐ与Ｑ之和跟Ｑ与Ｐ之和不同。不仅一般的关系数是如此，而且序数也是如此，如果其中之一或二者是无限的。
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６９第 八 章
序数是关系数的次一级的类，也就是能适用于“次序整然的”系列，“次序整然的”系列其性质是：其中任何有若干项的次一级的类有一个第一项。坎特曾研究过超限序数，但是，据我所知，一般的关系数是在《数学原理》中第一次加以界说和研究的。
一两个例证也许对于我们有帮助。假定你有若干对成一个系列，你想按照上面解释选择公理的意思从这些对里形成一系列的选择。这个程序和基数算术里的程序十分近似，只是有一点不同，就是，我们现在是想把这些选择排成一个次序，而以前我们只是把它们算做一个类。此外又假定，正如我们讨论类的选择的时候那样，我们有三个组，（ｘ１，ｘ２，ｘ３）
、（ｙ１，ｙ２，ｙ３）和（ｚ１，ｚ２，ｚ３）
，我们想从这些里边弄出一个选择的系列来。这有种种办法。也许最简单的办法是这样：任何包含ｘ１的选择出现在任何不包含的选择之先。在二者都包含ｘ１或都不包含ｘ１的那些选择之中，那些包含ｙ１的选择出现在不包含ｙ１的选择之先。
在二者都包含或都不包含ｘ１和ｙ１的那些选择之中，那些包含ｚ１的选择出现在那些不包含ｚ１的选择之先。我们为尾数２和尾数３立下类似的规则。这样我们就得到所有可能有的选择，排成一个系列，这个系列的开头是（ｘ１，ｙ１，ｚ１）
，最后是（ｘ３，ｙ３，ｚ３）。显然这个系列是有二十七项，但是这里二十七这些数目已经不是象我们从前那个例子里的那样一个基数，而是一个序数了，也就是说，是特别一种关系数。由于在那些选择之中建立了一个次序，它和一个基数是有区别的，一个基数并不建立一个次序。只要我们只限于有限数，在序数与基数之间是没有重
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《数学原理》：数学方面７９
要的形式上的分别的；但是，有了无限数的时候，由于交互定律不起作用，其间的分别就变得重要了。
在证明关系算术的形式定律的时候，我们常常有机会讨论系列的系列的系列。用下面这个实例，你在心中就可以得到一个具体形像：假定你要把一些砖堆积起来，而且，为的是把这件事说得更有趣，假定这是些金砖，你是在诺克司堡工作。我现在假定你先弄成一行砖，把每一块砖放在前一块的正东；你然后再弄一行，和第一行接触，但是是在第一行的正北；这样下去，你弄了许多行，到适当的程度而止。然后你在第一层的上面弄第二层，在第二层的上面弄第三层，这样下去，直到所有的砖都堆完为止。那么每一行就是一个系列，每一层是一个系列的系列，这一整堆是一个系列的系列的系列。我们可以用符号把这个过程代表如下：假定Ｐ是上层对下层的关系；Ｐ的领域是由各层而成；每一层是一系列的行。
假定Ｑ１是最高一层各行南对北的关系，Ｑ２是第二层各行的这种关系，其余类推。
Ｑ的领域是一系列的行。在最高一层最南边的一行中，东对西的关系，我们称之为Ｒ１；在最高一层的第二行中，东对西的关系，我们称之为Ｒ１２；其余类推，最后是Ｒｍｍ，假定ｍ是层的数目，ｎ是每一层中行的数目。
在这一个实例中，我是假定层数和行数是有限的，但是这是一个完全不必要的限制，有这一个限制只是为把这个实例弄得简单一点。
在普通的语言里，所有这些都颇为复杂而冗长，但是用起符号来就变得简易了。假定Ｆ是ｘ对Ｐ的关系（这个关系就是ｘ是Ｐ的领域的一项）。
那么，Ｆ３就是Ｆ和Ｆ和Ｆ的关系产物。举例来说，单个的砖是对Ｐ有Ｆ３关系的一些项，
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８９第 八 章
那就是说，每个砖是Ｐ的领域的一项的领域的一项的领域的一项。在证明加法和乘法的结合定律的时候，我们需要这样的系列的系列的系列。
如果两个关系数在次序上类似，我们可以说，它们产生相同的“结构”
，但结构是略比这个更为广泛的概念，因为它不限于二的关系，那就是说，二项之间的关系。在几何学里，三项或四项之间的关系是很重要的，怀特海原要在《数学原理》的第四卷里讨论这些关系。但是他做了不少预备工作之后，他的兴趣松懈下来，他放弃了这计划，而走向哲学去了。
可是不难看出结构这个概念如何可以一般化。
假定Ｐ和Ｑ已经不是二的关系，而是三的关系，这样的关系有许多通俗的例子，如，“在……之间”和“嫉妒”。关于Ｐ和Ｑ，我们可以说它们有相同的结构，如果能使它们有相互关系，凡在那个次序里ｘｙｚ有Ｐ关系的时候，它们的相关者在相同的次序里就有Ｑ关系，反之亦然。结构之为重要是有经验上的原因的，但是它的重要性也有纯粹是逻辑上的原因。如果两个关系有相同的结构，它们的逻辑上的性质是同一的，只是有一件：有赖于它们的领域的项的那些性质要除外。我所谓“逻辑的性质”是指能用逻辑术语表示的那些性质，不只是指能。。
用逻辑证明的那些性质。对于系列关系加以界说的那三个特。。
征就是一个例子，就是说，它们是不对称的、及物的、连接的。这些特征可以用逻辑术语表示出来；如果一个关系有其中之一的任何特征，每个在次序上和它类似的关系就也有这一个特征。每个关系数，不管是有限的或是无限的，是有这个数的任何关系的一个逻辑的性质。大体说来，凡关于一个
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《数学原理》：数学方面９９
关系你所能讲的话，不提有这个关系的各项，也不谈任何不能用逻辑术语表示的性质，都完全能适用于任何与你着手的关系相类似的关系。逻辑的和别的性质之间的区别是很重要的。举例来说，如果Ｐ是颜色之间的一种关系（例如虹里颜色的次序）
，是颜色之间的一种关系这么一个性质不属于在次序上与Ｐ类似的一切关系；但是是系列的那样的一个性质却是如此。再举一个较为复杂的例子：留声机片和灌片时原来的音乐在它们的逻辑的性质方面是分辨不出来的，虽然这两种东西所由成的实际材料是很不同的。
另一个实例也许能帮助我们把结构这个概念解释明白。
假定你知道某种语言的文句构造上的规则，但是，除了用于逻辑的一些字以外，你一个字也不认识，并且假定有人给了你用这种文字写出来的一个句子：这句话可以有的不同的意义是什么呢？这些意义的相同之点是什么呢？只要能使这整个句子具有意义（也就是说，在逻辑上讲得通）
，你对于每个单个的字可以赋予任何意义。那么，这句话就有很多可能的意义，也说不定是无限多，但是它们都有相同的逻辑结构。
如果你的语言具备某些逻辑上的必要条件，使你的一些句子为真的那些事实也就有相同的结构。
我认为关系算术是重要的，这不只是�