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包含什么无知，这个概念对于全知来说仍然具有和对于我们来说同样的意
义。全知会知道a 是否为一个A，但是全知仍然可以说：凭借a 是一个B 这
个数据，a 是一个A 的概率是A/B。
在把我们的定义应用到特定的实例时，在某些情况下存在着一种可能发
生的意义上的含混。为了弄清楚这一点，我们必须使用性质而不是类的说法。
设A 类由性质φ确定，而B 类由性质ψ确定。接着我们说：
a 在已知它具有性质φ的条件下具有性质ψ的概率被定义为同时具有性
质φ和ψ的事物对于具有性质ψ的事物之比。我们用“φa”来表示“a 具有
性质φ”。但是如果a 在“φa”内出现不止一次，那就会出现一种意义上的
含混。举例说，假定“φa”是“a 自杀了”，即“a 杀死a。这是“x 杀死x”
的一个值，而“x 杀死x”是由自杀组成的类；也是“a 杀死x”的一个值，
而“a 杀死x”是a 杀死的人组成的类；也是“x 杀死a”的一个值，而“x
杀死a”是杀死a 的人组成的类。这样在给φa 的概率下定义时，如果“a”
在“φa”中出现不止一次，我们就必须指出它的哪些次出现可以当作一个变
量的值和它的哪些次出现不可以当作一个变量的值。
我们将发现我们能够按照上面的定义来解释所有的基本定理。
让我们拿拉普拉斯自命的归纳证明为例来看：
有N＋1 个口袋，每个口袋中有N 个球。
在这些口袋中，第r＋l 个口袋中有r 个白球和N…r 个黑球。我们已经从
一个口袋中拿出n 个球，而这些球全是白球。
那么：
（a）我们已经挑中其中都是白球的口袋的机会是多少？
（b）下一个球是白球的机会是多少？
拉普拉斯说（a）是（n 十1）/（N＋1）而（b）是（n＋1）/（n＋2）。
让我们用一些数字实例来说明。首先：假定一共有8 个球，其中已经取
出4 个球，而这4 个球全是白球。那么（a）我们已经挑中只有白球的口袋的
机会和（b）下一次取出的球是白球的机会各是多少？
设Pr 代表我们已经挑中有r 个白球的口袋这个假设。数据把P0，P1，P2，
P3 排除在外。如果我们有P4，那么我们只有一种方法可以已经拿出4 个白球
来，剩下4 种拿出一个黑球的方法，但却没有一种拿出一个白球的方法。如
果我们有P5，那么我们有5 种方法可以已经拿出4 个白球，并且对于其中每
一种方法来说都有一种拿出另一个白球和三种拿出一个黑球的方法；这样从
P5 我们就得出5 个下一个球是白球和15 个下一个球是黑球的实例。如果我们
有P6，那么就有15 种挑出4 个白球的方法，并且在挑出它们之后还剩下两
种挑出一个白球和两种挑出一个黑球的方法；这样我们从P6，就得出30 个
挑出另一个白球和30 个下一个球是黑球的实例。如果我们有P7，那么就有
35 种拿出4 个白球的方法，并且在拿出它们之后还剩下3 种拿出一个白球和
一种拿出一个黑球的方法；这样我们就有105 种拿出另一个白球和35 种拿出
一个黑球的方法。如果我们有P8，那么就有70 种拿出4 个白球的方法，并
且在拿出它们之后还有4 种拿出另一个白球但却没有一种拿出一个黑球的方
法；这样我们从P8 得到280 个第5 个白球和没有黑球的实例。加在一起，我
们就有5＋30＋105＋280 即420 个第五个球是白球和4＋15＋30＋35 即84
个第五个球是黑球的实例。所以白球所占的优势是420 比84，即5 比1；这
就是说，第五个球是白球的机会是5/6。
我们已经挑中都是白球的口袋的机会，是从这个口袋挑出4 个白球的方
法数除以挑出4 个白球的方法的总数所得的比值。我们已经看到前一个数是
70；后一个数是l＋5＋15＋35＋70，即126。所以机会是70/126，即5/9。
这两种结果都和拉普拉斯的公式相符合。
让我们再举一个数字的例：假定有10 个球，已经拿出其中5 个并且发现
都是白球。那么P10即我们挑中只有白球的口袋的机会是多少？下一个球是白
球的机会又是多少？。。
Pr 可能有的方法数； 在pr 的条件下，挑中另一个白
球的方法数，
挑中一个黑球
的方法数
p5 1 ； 在p5 的条件下，0 5
p6 6 ； 在p6 的条件下，1 4
p7 21 ； 在p7 的条件下，2 3
p8 56 ； 在p8 的条件下，3 2
p9 126 ； 在p9 的条件下，4 1
p10 252 ； 在p10 的条件下，5 0
这样
P10 的机会就是252/（l＋6＋21 ＋56＋ 126＋252），即252/462，亦即
6/11。
下一个球是白球的方法有
6＋21×2＋56×3＋126×4＋252×5，即1980 个，
而下一个球是黑球的方法有
5＋4×6＋3×21＋2×56＋126，即330 个。
所以白球所占的优势是1980 比330 即6 比1，因而挑出另一个白球的机
会是6/7。这又和拉普拉斯的公式相符合。
现在让我们看一看伯诺利的大数定律。我们可以具体说明如下：假定我
们抛掷n 次钱币，每出一次正面写上1，每出一次反面写上2，这样就形成许
多n 位数。我们将假定每个可能的序列只出现一次。这样如果n＝2，我们就
有4 个数，11，12，21，22；如果n＝3，我们就有8 个数，111，112，121，122，211，212，221，222；如果n=4，我们就有16 个数，1111，1112，1121，1122，1211，1212，1221，1222，2111，2112，2122，2211，2212，2221，。。
2222；以此类推。就上面表中最后一项来看，我们看出四位都是1 的有1 个
数，
三位是1 和一位是2 的有4 个数，
两位是1 和两位是2 的有6 个数，
一位是1 和三位是2 的有4 个数，
四位都是2的有1 个数。
1，4，6，4，1 这些数是（a＋b）4中的系数。不难证明，与n 位数相对应的
数是（a＋b）n中的系数。伯诺利定理的全部意义在于如果n 大，那么接近中
间的系数的和就几乎等于所有系数的和（后者等于2n）。这样如果我们在大
量抛掷当中把所有可能的正反面系列都算进来，其中绝大多数情况下两者都
几乎相等；另外随着抛掷次数的增加，大多数情况数和接近程度也随着无限
增加。
尽管伯诺利定理比起上面包含对于相等概然性进行抉择的说法更为一般
和确切，就我们现在的“概率”的定义来说，它却可以按照类似上面的方式
来加以解释。这是一件事实，即如果我们写出全部由不是1 就是2 组成的100
位数，那么大约有四分之一包含49 位或50 位或51 位是1 的数，有接近半数
包含48 位或49 位或50 位或51 位或52 位是1 的数，半数以上包含47 到51
位是1 的数，大约四分之三包含46 到54 位是1 的数。随着位数的增加，1
和2 几乎平均出现的数目占压倒优势的实例也就随着增加。
为什么这件纯属逻辑的事实被我们当成适当的理由，使我们在抛掷许多
次钱币时期待着事实上得到的几乎数目相等的正反面，那就是一个不同的问
题，其中除了涉及逻辑定律之外还涉及到自然律。我现在提到它的目的只在
于强调我现在不讨论这个问题。
我想强讽在上面的解释中没有谈到可能性，也没有谈到实际上涉及到无
知的问题。这里只是计算一下B 类的分子数目并确定它们当中同时属于A 类
的比例数。
有时人们认为我们需要一个等概率公理——例如说出正面和反面的概率
相等。如果这指它们事实上出现的频率接近相等，那么这个假定对于数学的
概率论就不是必要的，因为后者本身并不研究实际的事件。
现在让我们看一下有限频率的定义对于那些看来也许出了它的范围的一
些概然性实例的可能的应用。
首先：这个定义在什么条件下可以扩展到无限集合？因为我们已经把概
率定义为一个分数，并且因为分数在分子和分母为无限时无意义，所以只有
在有某种趋近一个极限的方法时才能扩展这个定义的范围。这就要求我们要
对之计算a 为b 的概率的那些a 形成一个系列，事实是一个级数，以便把它
们表示为a1，a2，a3，。。an，。。，这里对于每个有限整数n 来说都有一
个与之对应的an，反过来说也是一样。这时我们就可以用“pn”表示到an为
止所有a 属于b 的比例数。如果在n 增加时，pn趋近一个极限，我们就可以
把这个极限