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数学家一般把这些创新归因于存在着在运演的基础上引入无限数量的运演的可能性。在建构E和F两个集（这已经就是通过运演将客体组合起来）时，我们能把E中的一个x“运用到”F中的一个（而且仅仅是一个）y，从这里就出现了一种函数运演，它可以是一一对应的（在单一的x对应于y的情况下），也可以不是这样（在有好几个x对应于y的情况下）。E×F这个积，我们可以从E、F这两个集形成；我们也可以通过等值关系的分割来形成它们的商集（例如，把“同胞”关系应用于“人类”这个集，就产生了“民族”这个集）。用同样的方式，我们可以用组合办法从每一个集导出其“所有子集的集”，或者通过重复这些运演以得到建基于E和F之上的集的阶梯式体系。特别是，不管基础集的性质如何，我们都能够通过把对这些集进行运演所得到的共同特性抽象出来，而建构结构，于是就可以借助于理论来把这些结构作相互比较，如果存在着同构性（比如在欧几里得几何和实数理论之间）那么这些结构就是单值的，而在别的情况下（群和拓朴学）结构则是多值的①。所以全部数学都可以按照结构的建构来考虑，而这种建构始终是完全开放的。标志着近代数学巨大进展的这种观点的改变，其最显著的迹象是那个与数学“实体”这个术语开始有了联系的新意义。数学实体已不是从我们内部或外部一劳永逸地给出的理想客体了：数学实体不再具有本体论的意义；当数学实体从一个水平转移到另一个水平时，它们的功能会不断地改变；对这类“实体”进行的运演，反过来，又成为理论研究的对象，这个过程在一直重复下去，直到我们达到了一种结构为止，这种结构或者正在形成“更强”的结构，或者在由“更强的”结构来予以结构化。因此，任何东西都能按照它的水平而变成“实体”，这种情况反映出在本章第一节C段中已经指出的那种形式和内容的相对性。
①参看A。LichnerowiczinLogiqueetconnaissancescientifique（Encycl·pléiade），p。477。
虽然把数学家和儿童相比是显然不礼貌的，但是也很难否认：在数学家对运演不断地、有意识地、经过反复思考地建构运演，跟儿童据以建构数或量度、加法或乘法、比例等等的那种最初综合或无意识地协调，这两者之间存在着某种关系。作为归类和序列化的综合的整数，可以看成是对其它运演进行运演的结果；量度（分割和位移）①的情况也与此相同，乘法是加法的加法；比例是两个乘法关系的等值；分配关系是比例的序列；如此等等。但是甚至在最初的数学实体还没有形成以前，通过反身抽象过程，儿童就形成了最初的概念和运演，而上述这些例子只是反身抽象的高级形式罢了。反身抽象总是在于对从早期形式中演变出来的东西进行新的调整——这已经就是对运演进行种种的运演了。例如，把不同的类组合到一个包罗更广的类中，就是由以前那种把许多个体组合到一些类中去的活动为之作了准备的一种运演；它也是使先前的运演整合起来、丰富起来的一种新运演。这种说法也适用于传递性运演等等。
①“分割”是确定量度单位，“位移”是确定某一量度对象包含有多少个单位，这实际上就是进行“包含除法”的具体运算。——译注
B。现在让我们谈谈逐步被结构化的结构的严格性和必然性。梅耶逊是想把推理的作用归结为只限于运用同一性的过程的，他有“哲学的勇气”坚持认为：数学创新到何种程度，它就从现实借用到何种程度，并在这同样的程度上变成非理性的。就梅耶逊的观点说，只有同一性会给我们以不证自明性，而“根本不同”则超出了理性思维的范围：所以，运演本身可以认为是部分地自现实派生出来的，因为运演扩展了活动的范围；而且运演又引来了一个将随建构的增加而不可避免地增加的非理性因素。这种观点是有趣的，因为它暗示在丰富性和严格性之间有一种反比关系——虽然这不是在逻辑实证论的意义上说的，在逻辑实证论中标志着整个数学特性的那种同语反复，则暗示的是最大的严格性和最少的新异性。再者，梅耶逊是比戈布劳更为前后一致的，按照梅耶逊的观点，说明数学的富有成效性的那些运演建构仅仅是从早已被公认的命题中推导出来的。但是，已被公认的命题要末事先就包含着运演建构所得到的结果，因而就没有什么创新；要末并没有包含运演建构所得到的结果，那么在这样的情况下，已被公认的命题又如何能证实新命题的正确性呢？因为光是在早先的结构和新结构之间的无矛盾性是不足以保证新结构的必然性的。
需要说明的显著而又几乎自相矛盾的事实是：丰富性和必然性总是连在一起的。不可否认，所谓“现代”数学的显著进展，是以数学进展的两个互相关联的方面，即以增多了的建构性和提高了的严格性作为其特点的。所以，我们一定要在这些结构本身的建构的内部来探索这种以前布特罗曾称之为“内在必然性”的秘密。此外，看来区分必然性的两种水平是合理的：用科尔努的话来讲，这两种水平就是单纯的逻辑论证和为应予论证的结论提出“理由”的那些论证。前者只是使我们能看到结论是怎样从已把结论包含于其中的那些前提的组合中推导出来，而后者则抽象出一种导致结论的合成法则，这个法则再次把建构性和严格性集拢在一起。
一个特别明显的例子是由递归推论所提供的，在那里论证是以数的完整序列为基础，以致对一个结构的内部特性是根据整个体系的规则和这个结构的反复迭代来阐明的。而且存在着一种发生学上的显著类比（《研究报告》第十七卷）。归类和序列化的综合产生了数，但只是在七岁到八岁时才产生数的集合体的守恒；然而五岁半以上的被试，让他用一只手一次把一个珠子放到一个看得见的容器里，同时又用另一只手把珠子放到一个盖着布帘的容器里时，他们能够领会这两个集合体是会保持相等的。一个在别的测验中没能解决守恒问题的五岁儿童说：“只要你懂了一次，你就一直会懂”。（这似乎可以这样解释：每一次增加一个珠子就等于归类时的序列化，而手的运动的继续也有它自己的顺序，这引起了归类和序列化的局部而短暂的综合。）
总之，如果结构的增多是丰富性的标志，那末，结构的内部组合法则（例如可逆性P。P－1＝0；无矛盾性的起点）或外部组合法则（结构间的同构性），仅只根据结构的反复迭代所引起的那些闭合作用以保证结构的必然性（从发生学的观点去看传递性的例子：见本书第一章第四节）。但是在这里区分结构化的不同程度是有用的。因此，我们可以把那类结构称为“弱结构类”，在这类结构中不存在一条组合定律，使我们能从整体的特性过渡到部分的特性（例如从无脊椎动物过渡到软体动物）或从一个部分的特性过渡到另一个部分的特性（从软体动物过渡到腔肠动物）；并且把那些隐含着这种获得了良好调节的转换的结构（例如，群和它的子群）称为“强结构类”。这个在发生学水平上已然是正确的区分，也许同自戈德尔的工作以来就流行的那种关于结构“强度”有大有小的概念是有关联的。我们甚至不排除区别出不同程度的矛盾的可能性：例如，对我们说来，断言n－n0，似乎就比断言一种弱结构的质的类A－A0更加矛盾。无论如何，虽则在算术上可以证明一切零类都是同一的，但没有土豆并不等于没有菠菜。①
①有一个过分讲逻辑的餐馆主人的故事：他拒绝供应“不带土豆的牛排”，因为那一天他