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与一种安慰剂作比较。此时的零假设（那个稻草人）就是，该新药不比安慰剂好。现在，假定5年之后，用安慰剂的妇女有一半乳腺癌复发，但用新药的完全没有复发，这样能证明新药“有效”吗？答案当然得看这个50％代表多少病人。
如果在这项研究中，两组各仅有4名病人，也就是总共有8名病人，而其中2人在5年后复发。假定我们任选一个8人团体，把其中两人做上标记，接着把人随机分成两组，每组4人，那么做标记的两个被分在同一组的概率大约是0。30。因此，如果每组只有4名妇女，“所有复发的妇女都落在安慰剂组”是不显著的。如果该项研究中每一组包含500名妇女，且乳腺癌复发的所有250名妇女都落在安慰剂姐，这是极度不可能的，除非新药真的有效。如果新药并不比安慰剂有效，这250名妇女都落在同一组的概率就是P值，计算出来的结果将小于0。0001。
P值是一个概率，它就是这样被计算出来的。既然P值被用来表明一个假设（P值就是在该假设下计算出来的）为假的概率，那它的实际意义又是什么呢？答案是，P值是在极可能为假的条件下，与观测值相关联的一个理论概率。P值与现实没什么联系，它是一种对似是而非问题的间接测量。它不是我们错误理解的新药有效的概率，它也不是出现任何一种类型误差的概率。但是，为了决定哪一种检验方法比别的检验方法更好，奈曼必须想出一种办法把假设检验放进一个架构里，使得与根据检验所做出的决策相联系的概率能够计算出来的。因此，他需要将假设检验的P值与现实生活联系起来。
概率的频数定义
1872年，英国哲学家约翰？维恩（John Venn）提出了一个数学概率的公式。这个公式使得概率在现实生活中有了含义。他把一个重要的概率定理转了一个方向，这个定理就是大数定律（law of large numbers）。大数定律指出，如果某事件有给定的概率（比如掷一个骰子，得到六点这一事件的概率是六分之一），而且如果我们重复地进行相同的试验时，该事件发生的次数的比率就会越来越接近这个概率值。
维恩指出，与一个给定事件相联系的概率，是该事件从长期来看所发生的次数的比率。按照维恩的意见，概率的数学理论并没有隐含大数定律，反而是大数定律隐含了概率的思想。这就是以频数为基础对概率的定义。1921年，约翰？梅纳德？凯恩斯（John Maynard Keynes ）推翻了这种定义方式，认为它不是一种有用的或有意义的解释，并指出这种定义具有根本性的矛盾，因而无法在许多要求计算概率的情况不应用概率的频数定义。
在用正规的数学方法来构造假设检验时，奈曼又重新回到了维恩的概率的频数定义上。奈曼利用这个定义来证明他在假设检验中对P值解释的合理性。在奈曼－皮尔逊的公式中，科学家设定一个固定的值，比如0。05，之后，当显著性检验的P值小于或等于0。05时，就拒绝零假设。按照这种理解，从长期来看，该科学家会正好有5％的机会拒绝一个正确的零假设。假设检验当前就是这样来讲授的，奈曼所采用的频数方法被得到强调。我们太容易把奈曼－皮尔逊的假设检验公式看作是概率的频数方法的内容，因而太容易忽略奈曼所提的观点中更重要的见解，即为了检验零假设这个“稻草人”，必须要有一组定义明确的备择假设。
费歇尔误解了奈曼的见解。他把注意力集中到了显著性水平的定义上，但却忽略了检验效力和需要定义一组备择假设这些重要的思想。在批评奈曼时费歇尔写到：
奈曼认为他自己修正并改善了我早期所做的关于显著性检验的工作，结果“改进了自然知识”，不过实际上他只是用技术性与商业性的形式，也就是大家所熟知的接收程序，重新解释了这些检验方法罢了。现在，在当代世界里，这种接收程序变得十分重要。例如，当英国海军总部接到某工程公司的大批材料时，我认为要安排很仔细的检查与检验，以降低残次品被接收的频率，……不过在我看来，这种管理运作与透过物理或生物实验的科学发现工作相比，它们之间的逻辑上有很大的差别，所以拿这两者做类比是没有多大帮助的，而把它们当成是同一回事，更是一种决定性的误导。
尽管存在对奈曼基本观点的这些扭曲，假设检验还是成为科学研究中应用得最多的统计工具。奈曼提出的精巧数学构思，在科学的很多领域中都占有一席之地，变成了一种固定的观念。大部分的科学期刊都要求论文的作者在做数据分析时要采用假设检验方法，甚至连科学期刊之外的领域也开始这么做。美国、加拿大与欧洲的药物管理机构，纷纷把假设检验方法的使用列为对药品检查的强制性要求，就连法庭允许原告用这种方法证明自己受到就业歧视。假设检验已经渗透到统计学的所有分支学科中。
奈曼－皮尔逊的理论攀升到统计学的巅峰地位，一路上也不是没有挑战的。费歇尔从一开始就攻击它，而且在他有生之年一直在攻击这个理论。1955年，费歇尔在《皇家统计学会期刊》上发表一篇文章，题目是“统计方法与科学归纳”，而在他的最后一本书《统计方法与科学推论》（Statistical Methods and Scientific Inference）里，更进一步详述了他的看法。在20世纪60年代晚期，不久之后就出任《生物统计》期刊主编的大卫？考克斯（David Cox），发表了一篇分析清晰的文章，分析了假设检验在科学中的实际用途，同时也证明了奈曼的关于频数的解释不符合实际状况。在20世纪80年代，W？爱德华兹？戴明（W。 Edwards Deming）攻击了假设检验的整个思想，认为假设检验的整个思想都是荒谬的（第24章还会再提到戴明对统计学的影响）。年复一年，在统计学文献中一直有相关文章发表，指出在教科书中已成定格的奈曼－皮尔逊理论中发现了新的毛病。
不过，在奈曼－皮尔逊假设检验理论的神圣化过程中，奈曼本人并没有参与。早在1935年，他在《法国数学学会会刊》《bulletin de la Société Mathématique de France》上就用法文发表过一篇文章，对是否能找到最佳的假设检验方法提出严厉的质疑。在他后来的文章里，奈曼很少直接使用假设检验方法，他的统计方法通常是由理论原则导出概率分布，然后再由数据来估计参数。
其他一些人则捡取藏在奈曼－皮尔逊理论背后的观点来进一步发展。在第二次世界大战期间，亚伯拉罕？沃尔德扩展了奈曼利用维恩关于频数的定义，发展成了一个叫统计决策理论（statistical decision theory）的领域。埃里希？莱曼（Erich Lehmann）给出了用来判断一个好的假设检验可供选择的标准，后来在1959年，他还写了一本有关假设检验问题的权威性的教科书，这本书至今仍然是该领域对奈曼－皮尔逊假设检验理论描述得最完整的一部著作。
就在希特勒入侵波兰，将邪恶之幕笼罩欧洲大陆之前，奈曼就到了美国，并在加州大学的伯克利分校开始创建统计系。在那里他一直工作到1981年去世，这期间，他把该系创建成全世界最重要的学术性统计学系之一。他把一些统计学界赫赫有名的人物引入该系，同时也提拔了一些默默无闻的人，这些人正致力取得卓越的成就。例如，大卫？布莱克韦尔（David Blackwell）原来只是只身孤单地在霍华德大学（Howard University）工作，没有数理统计同行与他来往。由于他的种族原因，他一直没能在“白人”学校谋得一职，尽管他很有潜能。奈曼把他请到了伯克利。此外，奈曼还招了一位出身法国农民家庭的研究生吕西安？勒卡姆（Lucien Lecam），他后来成为世界领先的概率学家。
奈曼总是非常和善地对待他的学生和同事。他们常常津津乐道的是系里每天下午茶歇的欢乐时光，这是由奈曼主持的他与职员亲近接触的一个重要场合。他总是亲切地鼓励学生和同事谈谈自己最新的研究成果，同时很和蔼地提出他自己的思路和见解，给出评论，加入大家的讨论。他常常在下午茶歇即将结束时举起茶杯说“为尊敬的女士们！”他特别关照女士，鼓励她们在学术生涯上不断进步。在他的女弟子当中，伊丽莎白？斯科特（Elizabeth Scott）博士是较为杰出的，她与奈曼一起做研究，共同发表论文，范围从天文学到致癌物研究，甚至动物学�