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铃散布在预料运动物体将要经过的空间中，这样，在物体经过以
后，那些“响着的铃”就代表物体的径迹。在古典物理学中，人
们想把这些铃做得多小多灵敏都可以，因此，在使用无限多个无
限小的铃的极限情况下，同样也可以用任意大的精确度构成轨道
的概念。但是，对机械系统施加量子限制，同样会破坏这种局面。
如果铃太小了，那么，按照公式（15），它们从运动物体取走的
动量就会太大，即使物体只击中一个铃，它的运动状态也己大受
干扰了。如果铃做得太大，那么，每一个位置的测不准性又会变
得非常大，由此得到的最后轨道同样将是一条弥散的带。
我怕，上面这一切关于观察者怎样观察轨道的讨论，可能会
造成一种过于看重技术的印象，使大家倾向于认为，尽管我们的
观察者无法靠他上面所用的办法把轨道确定下来，但如果用某种
比较复杂的装置，大概就能得到他所需要的结果。不过，我应该
提醒大家，我们在这里并不是讨论在某个物理实验室里进行的某
个特定的实验，我们是把最普通的物理测量问题概念化了。要知
道，我们这个世界上所存在的任何一种作用，要不是属于辐射作
用，就必定是属于纯机械作用，就这一点而论，任何一种精心设
计的测量方法都离不开以上两种方法的原理，因此，它们最后必
将导致相同的结果。既然我们的理想的“测量仪器”可以概括整
个物理世界，我们最后就不能不作出结论说，在量子规律起统治
作用的世界里，像精确的位置或形状精确的轨道这样的东西，是
根本不存在的。
我们再回头来讨论我们那个实验者，现在我们假定他想求出
量子条件所强加的限制的数学表达式，我们已经看到，在上面所
用的两种方法中，对位置的测定总是会对运动物体的速度产生干
扰。在光学方法中，由于力学的动量守恒律，粒子受光量子撞击
后，它的动量必定会产生一种测不准性，其大小同所用光量子的
动量差不多。因此，我们可以运用公式（15），把粒子动量的测
不准性写成
Δｐ粒子≈ｈ/λ（１６）
再想起粒子位置的测不准性取决于光量子的波长（Δｑ＝λ），
我们便由此得出
Δｐ粒子×Δｑ粒子≈ｈ （１７）
在机械方法中，运动粒子的动量由于被铃取走了一部分，也
会变成测不准的。运用公式（15），再回想起在这种场合下粒子
位置的测不准性由铃的大小所决定（Δｑ≈ｌ），我们又得到与
前一种场合相同的最后公式（17）。可见，公式（17）是量子论
的最基本的测不准关系式。这个公式是德国物理学家海森伯最先
导出的，因而被称为海森伯测不准关系式。它表明，位置测定得
越准确，动量就变得越测不准，反之亦然。
我们再回想起动量是运动粒子的质量与速度的乘积，便可以
写出
Δｖ粒子×Δｑ粒子≈ｈ/ｍ粒子 （１７）
对于我们通常碰到的物体来说，这个量是小得荒谬可笑的。即使
对于质量只有10…7克的较轻的尘埃粒子，不管是位置还是速度，
也仍然可以精确地测定，精确度达到0．000 000 01％！但是，在
电子（质量为10…27克）的场合下，ΔｖΔｑ的乘积大约达到100。
在原子内部，电子的速度至少应该确定在106米／秒的精确度范
围内，不然，它就会从原子中逃出。这样一来，位置的测不准性
就等于10…10米，也就是说，已经同整个原子一样大了。由于这
种扩大，电子在原子中的“轨道”便弥散了，轨道的“厚度”变
得等于轨道的“半径”。由此可见，这个电子将同时出现在原子
核周围的每一点上。
在过去２０分钟内，我已经尽力为大家描绘出我们批判古典
运动概念所造成的灾难性后果。现在那些优美的。有严格定义的
古典概念已变得支离破碎，让位给可以说像烂糊粥那样的东西了。
自然，你们会问我：物理学家们打算怎样用这种处处存在测不准
性的观点，去描述任何一种现象呢？
我们现在就来谈谈这个问题。很明显，既然我们由于位置和
轨道都发生弥散，一般不能用数学上的点来定义物质粒子的位置，
也不能用数学上的线来定义粒子的运动轨道，那么，我们就应该
用别的描述方法来提供这种“稀粥”（可以这样称呼它）在空间
不同点上的“密度”。从数学上说，这意味着需要采用连续函数
（流体动力学中所用的那一种），而从物理学上说，这要求我们
采用“这个物体大部分在这里，但有一部分在那里”或者“这枚
硬币有75％在我口袋里，而有25％在你口袋里”这种所谓“出现
密度”的说法。我知道，这样的句子会把你们吓一跳，不过，由
于量子常数的值非常小，你们在日常生活中永远不会需要使用它
们。可是，如果你想研究原子物理学，那么，我就要严肃地劝你
首先使自己习惯于这种表达方式了。
在这里，我必须预先警告大家不要产生一种错误的想法，也
就是不要错误地认为，这种描述“出现密度”的连续函数在我们
普通三维空间中具有物理学上的现实意义。事实上，如果我们想
描述两个粒子的行为，我们就必须回答当第一个粒子出现在某一
点时第二个粒子出现在什么地方的问题。要想做到这一点，我们
必须采用含有６个变量（２个粒子各有３个坐标）的函数，而这
样的函数在三维空间中不可能是“定域”函数。当系统更复杂时，
必须采用含有更多变量的函数。从这个意义上说，量子力学的“
波函数”类似于古典力学中粒子系统的“势函数”，也类似于统
计力学中系统的“熵函数”。它仅仅描述运动状态，并帮助我们
预测任何一种特定的运动在指定条件下可能产生的结果。因此，
只有在我们描述粒子的运动时，它对于我们所描述的粒子才暂时
具有物理学上的现实性。
描述一个粒子或粒子系统出现在不同地点的可能性有多大的
函数，需要有某种数学上的记法；按照奥地利物理学家薛定愕（
他最先写出定义这种函数的性状的方程）的意见，这个函数一般
用符号ψψ－来表示。
我不想在这里讨论薛定愕基本方程的数学证明，但我希望大
家注意一下导出这个方程的必要条件，这些条件当中最重要的。
一个是非常离奇的是，它要求这个方程的形式必须使得描述物质
粒子运动的函数能够显示出一切波动特性。
我们一旦推翻了古典概念，并用连续函数来描述运动，关于
波动性质的要求就变得容易理解多了。这种要求只不过是说，我
们的ψψ－函数的传播并不类似于热通过一堵一面被加热的墙壁的
传播，而类似于机械形变（声音）通过这种墙壁的传播。从数学
上说，这要求我们所寻找的方程具有明确的、相当严格的形式。
这个基本条件连同一个附加的要求——即要求我们的方程在用于
可以不考虑量子效应的大质量粒子时，应该变成古典力学中的相
应方程——实际上把寻找这个方程的问题，化成了一项纯数学的
作业。
如果大家愿意知道这个方程的最后形式是什么样，我可以在
这里把它写出来。这就是
在这个方程中，函数Ｕ代表作用于粒子（质量为ｍ）的力势，对
于任何一种指定的力场分布，它都使运动问题有确定的解。利用
这种“薛定愕波动方程”，物理学家们已经为原子世界所发生的
一切现象，描绘出最完美而且最合乎逻辑的图景。
你们也许有人会觉得奇怪：为什么我没有使用人们在谈到量
子论时常常提到的“矩阵”那个术语？我应该承认，我个人是不
太喜欢这种矩阵的；因此，我宁愿不同它打交道。不过，为了使
大家不至于完全不知道量子论中的这种数学工具，我想用几句话
简单地谈谈它。正如大家已经看到的，人们总是用某种连续的波
函数来描述粒子或复杂力学系统的运动。这种函数往往相当复杂，
可以看做是由许多比较简单的振动（即所谓“本征函数”）组成
的，就像一个复杂的声音可以看做是由许多个简单的谐音组成的
那样。因此，我们可以通过给出各个分量的振幅，来描述复杂系
统的整个运动；由于分量（泛音）的数量无限多，我们必须写出
一个无限长的振幅表：
ｑ11 ｑ12 ｑ13 …
ｑ21 ｑ22 ｑ23 …
ｑ31