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精心挑选的平均数（2）
在描述人类身高时，用哪种平均数无关紧要，但在描述他们的钱袋时，却并不是那么回事儿了。如果把某个城市所有家庭的年收入都列出来，你会发现，这些数从很小的值变动到很大的数，也许有20000英镑左右，甚至还能看到少数巨额收入。年收入低于5000英镑所占的比例超过了95％，在收入###上朝左边拖出了一条长长的尾巴。这种分布不再像钟形一样对称，而是有偏的，它的形状类似于孩子玩的滑梯，梯子一侧是陡斜地升到顶部，而滑道一侧则缓慢向下倾斜。均值与中位数相差甚远，这样一来，比较去年的“平均数”（均值）与今年的“平均数”（中位数），这种比较的有效性就不言而喻了。
在我卖给你房子所在的居民区里，两个平均数的差距如此之大，因为收入是显著偏斜的。你的邻居中大多数都是小农、在附近村庄上班的工薪阶层或是靠养老金为生的退休老人，但有3户邻居是百万富翁，他们仅仅是来此度周末。就是这3户邻居的收入提高了总收入，相应地抬高了算术平均数。这样一来，均值达到了绝大多数家庭遥不可及的水平，几乎每个人都低于平均数。虽然这听起来像是笑话或者文学修辞，但的确是不争的事实。
当你听到公司执行总裁或企业所有者宣称，在他的企业中员工的平均收入是多少时，你应该好好思考一下其中的原因。如果这个数是中位数，你可以获得一些显而易见的信息：一半员工赚得比它多，一半比它少。但如果是均值（请相信我，没有确切指出它的种类时，多半是均值），它仅仅是所有者25000英镑的高收入与全体工人低水平收入的平均数，根本没有什么意义。“平均年收入为3800英镑”既隐瞒了1400英镑的低收入，又隐瞒了所有者以巨额薪金形式抽取的高额利润。
这类似于双人拉锯——现实情况越糟，看上去却越好。在一些公司的声明中也会采用这种方法。让我们试着举个简单的例子来说明。假设你是某个小型制造企业的3个合伙人之一。这是丰收的一年，到了年底，你给企业的90个职工共发了99000英镑，他们的工作是生产、运输椅子，或者你所经营的任何东西。你和其他合伙人每人各获得5500英镑的工资；最后还余下21000英镑，作为利润可供你们3个合伙人平分。你将如何说明这种情况呢？为了便于理解，你打算采用平均数的形式。既然所有的职工从事相同的工作，获得同样的收入，对于他们来说用均值还是中位数没有区别。说明如下：
职工的平均工资…… 1100英镑
所有者的平均工资及利润…… 12500英镑
看上去太不公平了，不是吗？让我们来试试另一种形式：从利润中拿出15000英镑以奖金的形式平分给3位合伙人。这一次将包括了所有者和职工的工资进行平均，不要忘记还是采用均值，结果变成：
所有人员的平均工资或薪金…… 1403英镑
所有者平均利润…… 2000英镑
哈，看上去好多了吧。虽然还能进一步改善，但这已经有了长足的进步，总额中只有低于6％的部分形成了利润。如果乐意，你还可以继续如法炮制。但不管怎样，现在的结果已经足以作为公布的内容张贴在公告栏中，或者作为与职工谈判的依据。
因为简化，这个例子是十分粗糙的。但和以会计的名义所做的手脚相比，它简直就是小儿科。从薪水微薄的打字员到领取80万美元奖金的总裁，在这样一个等级森严的复杂公司中，所有事情都可用类似的方法进行掩盖。书包 网 。 想看书来
精心挑选的平均数（3）
因此，当你看到某个平均收入时，首先问问：是什么的平均？包括了哪些人？美国钢铁公司（the United States Steel Corporation）曾经指出：10年间，该公司职工的平均周收入攀升了107％。确实如此，但是当你注意到早期的数据包括了兼职员工时，奇妙的增长率会大打折扣。也就是说，如果你某年只工作了半年，而第二年全年都在工作，你的收入毫无疑问会翻番，但这并不意味着工资率发生了变动。
你也许曾在报纸上看到过，某年美国的家庭平均收入是6940美元。别太在意这个数字，除非你知道这个数字包括了哪些家庭，以及使用了哪种平均数。（甚至这是谁说的，他是如何获得该信息的以及这个数的准确性你都要知道。）
上述数据来自于普查局（the Bureau of the Census）。如果手头有普查局的整篇报告，你将不费吹灰之力地弄清楚所需要的其他信息。首先，这是个中位数；其次，“家庭”是指两个或更多具有亲属关系的人住在一起所形成的“家庭”。如果再回过头读一下表中的数据，你还将发现这个数据建立在抽样基础之上，该调查以19/20的概率保证真实的数值会落在估计值加减71美元的范围之内。
类似的概率和误差范围构成了一个很好的估计。普查工作者掌握了足够的统计知识和足够的财力，如果没有特殊的企图，他们能够将抽样研究结果控制在较好的精度范围之内。但并不是所有的数据都出自这种严谨的环境，也不是所有的数据会附上关于数据精确度的任何说明。在下一章，我们还将展开详细的分析。
同样，对《时代》杂志“编者的话”栏目中的某些项目，你会表示怀疑。该杂志这样描述他们的新订户：“他们年龄的中位数是34岁，家庭平均年收入为7270美元。”早期关于“旧时代”读者的调查发现，“年龄的中位数是41岁……平均年收入为9535美元……”一目了然的是，为什么两次谈到年龄时都指出采用了中位数，而关于收入却不明确平均数的类型。也许收入使用的是数值较大的均值，以达到利用高收入读者群吸引广告商的目的。
对第一章开头所提到的1924级耶鲁学生的平均收入，你同样可以提这样一个问题：这里用的是哪种平均数？
本章小结：
◆所以，当你被告知某个数是平均数时，除非能说出它的具体种类——均值，中位数，还是众数，否则你对它的具体涵义仍知之甚少。
◆在处理诸如人类特征的数据时，各种平均数的数值十分接近。这些数据具有我们常说的正态分布的形态特点，在你用###绘制正态分布时，将看到一根钟形的###，均值、中位数和众数都落在相同的点上。
◆当你看到某个平均收入时，首先问问：是什么的平均？包括了哪些人？
◆类似的概率和误差范围构成了一个很好的估计。
没有披露的数据（1）
第三章 没有披露的数据
某位统计专家曾经建议，在被告知某个调查的结果时，你需要做的就是反问一句：“为了得出这个结论，你调查了多少名被访者？”
正如以前曾指出的那样，采用严重有偏的样本几乎能够产生任何人需要的任何结果。只要样本容量足够小，或者你尝试足够多的次数，正确的随机样本也可以达到上述效果。
“用户反映使用多克斯（Doakes）牌牙膏将使蛀牙减少23％”，大字标题历历在目。你希望减少23％的痛苦，于是接着往下读。你发现这些结论出自一家信誉良好的“独立”实验室，并且还经过了注册会计师的证实。有了这些，你还想知道什么呢？
然而，如果你不是特别容易轻信他人，或者不是一个盲目乐观的人，经验将告诉你：一种牙膏很难比其他牙膏好。那么多克斯公司是怎样制造了上述结论？如果是说谎，但用大字标题报道这些谎言，他们又如何能够逃避责任呢？事实是，他们根本无需说谎，下面便是简单而有效的方法。
这里的主要把戏是不充分的样本——统计角度的不充分。但对于多克斯公司来说已经足够了。只有当你读小字体的文字时才会发现：被测试的用户仅由12人组成。单凭这点，你便不得不佩服多克斯公司，它留给你一个可能知道全部情况的机会。有的广告商索性将类似的文字都略去，留给读者——即便他是一个老练的统计专家——一个猜想：这里面到底玩了什么把戏？从这个角度来说，多克斯公司由12个人组成的样本还不算太坏。几年前，一种叫做可尼斯博士（Dr。 Cornish）的牙粉上市了，并宣传“在治疗龋齿方面获得了极大成功”，因为该牙粉中含有尿素，而经过实验室的证明，尿素对于治疗龋齿是有益