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不需要数学基础。有两三处为了给那些数学基础不错的读者补充一点额外的营养，我加了稍微数学化一点的脚注；但这样的脚注仅有两三处，并且是额外的补充，对于理解正文并不是必需的，讨厌数学的读者可以跳过不读。
最后的附录，写得相对技术化一点—当然这只是针对于从来不看数学公式的读者来说，如果与既有的博弈论教材通篇符号相比，读者会发现我写得其实已简单明了很多。这个附录，普通读者可以不用阅读，因为它是专门为那些有意深入了解不完全信息博弈的读者而写的。很多人一接触不完全信息博弈就开始晕头转向，我认为这主要是因为他们没有真正理解一些关键概念（比如类型依存策略），所以我用最为直观的方式讲解了最关键的概念和思想，我相信它对于有意进阶学习博弈论和数学基础差的读者是极有用处的。当然，这个部分也可视为我故意设置的一个“信号”：这是一个专家写的书，而不是一个外行写的书。在“博弈”一词已被滥用得无以复加的今天，博弈论普及读物良莠不齐，我敬重的博弈论学者王则柯教授对此多有批评；我因为几乎不看那些外行写的博弈论，不了解他们的错误，也就难以提出批评意见，但我仍觉得有必要通过一个“信号”把专家理解的博弈论和外行理解的博弈论区别开来，本书的附录在某种程度上也许可以有这个作用吧。
再声明一遍，阅读本书不需要数学基础；极少数有数学公式的地方，可以跳过不读；书中的各个故事，读者可以选择自己感兴趣的内容和感兴趣的顺序来读，怎么做都不会影响对全书的理解。但是，对于标记“*”号的章节内容，读者最好还是不要跳过，因为那是仅有的一点关于理论的解说。理论，是我们理解现象背后逻辑结构的固定模式。如果跳过这些部分，那么本书与一本故事书无异，读者或可从故事中得到暂时的快乐，但对于博弈论的理解及运用其分析现象的能力可能就难以得到提高。
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＇10＇与上帝博弈：概率决策
善于识别与把握时机是极为重要的。在一切大事业上，人在开始做事前要像千眼神那样识别时机，而在进行时要像千手神那样抓住时机。
—弗朗西斯·培根（Francis Bacon）
机会对于不能利用它的人又有什么用呢？正如风只对于能利用它的人才是动力。
—克洛德·西蒙（Claude Simon）
设想你和朋友抛硬币进行赌博，若出现硬币正面，你将从朋友处赢得1元钱；若出现背面，你将输给朋友1元钱。这样的游戏（game）当然也是博弈（game）。但这个博弈中你究竟会赢还是会输？结果将是不确定的。这样的博弈中，胜负似乎并不太依赖谁的策略技巧更高，而取决于谁的“运气”更好。与其说你跟朋友在博弈，不如说你跟上帝在博弈。
在现实的许多博弈中，不确定性都扮演着重要的角色。然而，在这样的博弈中，取胜仅仅是依靠运气吗？也许不是。即便在不确定的世界，如果可以发展出更好的策略，虽不能保证万无一失，但是取胜的可能性的确会增加；或者通过某些对付风险的策略，你也可以将不确定性带来的风险降低。在本章你会见到大量的此类例子。这些例子基本上不需涉及复杂的策略互动，但估计不确定环境的概率非常重要。因此本章命名为概率决策，而更为复杂的策略互动情形是以后各章的主题。
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＇11＇概率与信息推断
什么是概率
一个试验可能存在多个潜在的结果，但究竟哪种结果会出现，则是不确定的。这些不确定的试验结果被称做随机事件。譬如，抛硬币包含两个随机事件：正面或反面；要么出现正面，要么出现反面，但究竟哪一面出现是不确定的。掷骰子包含了六个随机事件，分别为1、2、3、4、5、6点；但每掷一次骰子究竟会出现哪个点数，是不确定的。
概率可以被看做独立随机试验中，事件出现的频率。比如，抛1万次硬币，正面向上的次数约5 000次，则抛硬币试验中正面向上的概率就是0。5。掷骰子12万次，出现每一个点数的频率大致是2万次，则掷骰子试验中每个点数出现的概率为1/6。
任何一个随机事件，都可能发生或不发生。一定要发生的事件被称为必然事件，一定不会发生的事件被称为不可能事件。必然事件和不可能事件，都不是随机事件。随机事件最终的结果，也只能是发生或不发生两者之一，不允许出现既发生又不发生的情况。而且，我们也不允许因为随机事件后来并没有发生，而否认它在先前所具有的发生的可能性。譬如，天气预报说明天有0。3的概率会下雨，真实的情况是到了明天没有下雨，但我们不能因为明天没有下雨而否认了其原本具有的下雨的可能性。随机事件的不确定，存在于结果被确定的过程之中；一旦结果实现了，随机事件的随机性就消失了，但这并不能否认在结果实现之前的随机性。
为了想通这个道理，不妨考虑在一个毒杀暗器飞来飞去的小屋里关进一只猫。当这只猫在屋子里时，我问你它的生死状态如何？你会回答不知道，因为这只猫可能还活着，也可能死去了。它的状态就是在生死之间徘徊、可能生可能死的状态。但是，若打开屋子发现猫还活着，这只猫会告诉你它一直是活着的，从没经历死的状态。但是，它仍活着这个事实，并不能否认它曾经面临死亡的可能性。
我们遭遇的许多概率事件是客观的。投掷硬币，若硬币是均匀材质的话，那么当试验次数趋于无穷的时候，出现正面或反面的概率一定都是0。5。这是客观的概率。但是，生活中有很多时候，我们难以对一个随机事件进行大量的重复试验。甚至有些不确定的事件，我们一生只遭遇一次，此时我们怎么评估事件实现的概率？通常我们会对其实现的可能性进行一个主观评估。这就是主观概率。我们很难说明主观概率是否合理，或者一个人的主观概率判断是否正确，但是在决策的时候我们自觉不自觉地都使用到了主观概率。而且，确实存在这样的事实：有经验的人比没有经验的人更能准确地判断形势。或者说，经验有助于提高主观概率的合理性或准确性。经验更丰富的人所做出的决定在事后被验证为恰当的频率要比缺乏经验的人高得多。这可能是经验在决策中占据重要地位的原因。
也许有读者还会问，为什么有经验的人比缺乏经验的人能做出更恰当的决定？对此的一个解释是，错误的决定对个人的成功多多少少会有所妨碍，恰当的决定对个人的成功多多少少会有所促进；从而，在优胜劣汰的竞争过程中，经常做出错误决定的人可能会被进化的筛子过滤掉，而那些仍能留存在筛子上的人，他们往往是能够“经常”做出恰当决定的人—他们就是经验丰富者，他们对于形势的判断本身就更可能是恰当的。这里也顺便提醒读者，博弈论是理论的科学，与他人博弈则还需要现实的经验。所以，读者不应寄希望于几本讲述策略行为的著作就能使你成为博弈高手。理论可以帮我们洞察某些局势，但是它永远都不能取代经验。
逆概率推断
与上帝博弈时，人们会形成对上帝之选择的主观信念（上帝选择各状态的概率分布），但是某些时候一些相关的事件发生了，导致人们需要修正对于上帝之选择的信念。或者说，人们有时会面临这样的问题：需要从观察到的结果去推断潜在信息的可能性—估计潜在状态的概率。
理解上述问题的最佳方式是举例。比如，上帝可以选择一个人是否患上某种遗传缺陷，并且一个人患上遗传缺陷的概率是1％。某项健康检查技术有99％的精确性可以发现这种遗传缺陷，即如果一个人真有遗传缺陷，那么他只有1％的机会未发现该缺陷；如果他没有遗传缺陷，但该项检查也有1％的机会误报其有遗传缺陷。我们感兴趣的是，当检查报告一个人有遗传缺陷的时候，他真的有遗传缺陷的概率是多少？也就是说，给定我们的观察，我们在多大程度上能确定潜在条件是现实存在的？
不妨用简单的数字运算来回答这个问题。设人口总数为10 000人，其中100人（1％）有缺陷，而9 900人没有。全部人口都做了该项检查，结果是100�